Objectif
A la fin de cette unité, l'apprenant sera capable de comprendre la base
mathématique du mouvement d`un satellite artificiel par illustrer le
mouvement képlérien (Lois de Kepler, Equation de Kepler, Eléments
képlériens), les types d`orbites et les calculs de géodésie spatiale.
Vous pouvez aller à l'unité de votre
choix en cliquant au dessus.
Johannes Kepler (1571-1630)
Assistant puis successeur de Tycho Brahé, Képler se pencha sur les
observations du mouvement des planètes réalisées par ce dernier pour tenter
d'établir les lois régissant ce mouvement. Convaincu d'abord que les orbites
étaient circulaires, ses calculs lui montrèrent finalement qu'il n'en était
rien : la forme de ces orbites étaient elliptiques.
Première loi de Kepler
Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des
foyers.
Deuxième loi de Kepler
Les aires balayées par le rayon vecteur joignant le centre du Soleil au
centre d'une planète sont proportionnelles aux temps mis pour les décrire.
Troisième loi de Kepler
Les carrés des périodes de révolution des planètes sont proportionnels aux
cubes des grands axes de leurs orbites.
Isaac Newton (1642-1727)
Les bénéfices apportés à la Science par les travaux d'Isaac Newton sont
innombrables et touchent plusieurs domaines. Dans le domaine de l'optique,
il énonça une théorie de composition de la lumière blanche et inventa le
téléscope. Dans le domaine mathématique, il développa les bases du calcul
différentiel. Dans le domaine mécanique enfin (qui nous intéresse le plus
ici), il énonça dans son livre intitulé "Principes mathématiques de
philosophie naturelle" les lois qui sont la base de cette science.
Première loi de Newton
Dans un référentiel d'inertie, si la somme des forces appliquées à un corps
est nulle, ce corps est soit au repos soit en mouvement à vitesse constante.
Deuxième loi de Newton
Dans un référentiel d'inertie, la somme des forces appliquées à un corps est
égale à la dérivée de sa quantité de mouvement.
Troisième loi de Newton
Dans un référentiel d'inertie, toute force (action) exercée par un corps A
sur un corps B fait naître une force (réaction) exercée par B sur A
d'intensité égale et de sens opposé.
Loi de gravitation universelle
On doit enfin à Isaac Newton la loi de gravitation universelle, expliquant
l'attraction mutuelle entre les corps. Cette loi s'exprime de la manière
suivante : Deux corps de masse m1 et m2, distants de R12, s'attirent
mutuellement avec une force F12 dont l'intensité en Newtons vaut :
F12 = G × m1 × m2/R122
où G : constante de gravitation universelle = 6,67 × 10-11 N × m2/kg2
La loi de gravitation universelle de Newton nous dit que la
force d'attraction réciproque de deux corps est directement proportionnelle
au produit de leur masse et inversément proportionnelle au carré de la
distance qui les sépare, suivant la formule :
F = (G × M1 × M2)/R212
Si nous appliquons cette formule au cas d'un satellite de masse m en
rotation autour de la terre de masse M, nous obtenons la formule suivante
pour la force d'attraction :
F = (G × M × m)/R2
où; R est la distance entre le satellite et le centre de la terre
G est la constante de gravitation universelle (6.67 × 10-11 N.m2/kg2)
M est la masse de la Terre (5.9733328 × 1024 kg)
m est la masse du satellite (kg)
Remarques importantes sur cette relation :
· Nous voyons tout de suite que le produit (G × M) est constant.
· R ne doit pas être confondu avec l'altitude H du satellite, c-à-d son
élévation par rapport au niveau de la mer.
Si nous nous souvenons de plus que la somme des forces qui s'appliquent à un
corps est égale au produit de sa masse par son accélération (cas d'un corps
de masse constante), on peut donc écrire que
F = m × a
En égalant les deux équations, on obtient donc :
m × a = G × M × m /R2 ou bien, en simplifiant : a = G × M / R2
Comme le produit (G x M) est constant (constante de gravitation par masse de
la terre), on peut réécrire l'équation sous la forme :
a = µ / R2
où;
µ égale à G × M, est une constante, baptisée paramètre gravitationnel,
c'est-à-dire µ=3,986005 × 1014 m³/s².
A la surface de la Terre, on obtient donc que la pesanteur = g = 9.8 m/s2
(puisque le rayon de la Terre est de 6378km).
Si nous appliquons les hypothèses suivantes :
· la masse du satellite est très faible par rapport à celle des corps
attracteurs (la Terre notamment)
· aucune autre force que la gravité n'agit sur le satellite (en particulier,
pas de poussée ni de traînée due à l'atmosphère)
· la Terre est sphériquement symétrique et a une densité uniforme
· le système d'axes est inertiel
nous pouvons établir l'équation de Newton :
d2R/dt2 = -µ × R/R3
où; R est le vecteur position du satellite
En effectuant alors certains calculs, sortant du cadre de cette
introduction, on obtient la relation scalaire suivante :
R = p/(1 + e × cos(v))
où; R : distance du centre de la Terre au satellite (km)
e : excentricité de la trajectoire
v : anomalie vraie
p : semi paramètre (km)
On peut démontrer que p = a × (1-e2).
L' équation scalaire est celle d'une conique, c-à-d l'intersection d'un plan
avec un cône circulaire droit. Elle correspond donc à 4 types de
trajectoires possibles : hyperbole, parabole, cercle et ellipse.
Ce résultat est remarquable car il prouve la validité de la première loi de
qui précisait que les orbites des planètes autour du Soleil étaient des
ellipses.
Le tableau ci-dessous
présente un récapitulatif des caractéristiques des différentes trajectoires
possibles pour un satellite.
Dans le cas d'une orbite
elliptique, on peut de plus remarquer les faits suivants :
· le point de la trajectoire où R est le plus petit s'appelle le périgée.
En ce point, R = Rp = a × (1-e) (car c'est le point où v = 0°).
· le point de la trajectoire où R est le plus grand s'appelle l'apogée.
En ce point, R = Ra = a × (1+e) (car c'est le point où v = 180°).
· la longueur de l'ellipse, 2a, est égale à (Ra + Rp).
· la distance entre les foyers, 2c, est égale à (Ra - Rp).
Si nous nous rappelons que le
champ de gravité de la Terre est un champ dans lequel il y a conservation de
l'énergie totale, nous pouvons donc écrire que la somme de l'énergie
cinétique(Ec) et potentielle (Ep) est conservée, c-à-d
Ec + Ep = C
où C est une constante.
Ec = 1/2 × m × V2
Ep = - m × µ/R
Soit :E = 1/2 × m × V2- m × µ/R = C
Le signe moins dans le terme d'énergie potentielle se justifie par le fait
que celle-ci doit augmenter si R croît. C'est bien le cas puisque au fur et
à mesure que R augmente, l'expression Ep=-m × µ × /R devient de moins en
moins négative.
Si l'on élimine maintenant de l'équation la masse en divisant ses deux
membres par m, on
obtient l'équation suivante :
Em = 1/2 × V2 - µ/R
où Em est l'énergie mécanique spécifique, exprimée en km2/s2.
Cette équation nous montre que, l'énergie mécanique étant constante sur une
orbite, on peut dire que sur une orbite elliptique, il y a transfert
d'énergie continuel entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du
satellite :
· du périgée vers l'apogée, l'énergie cinétique diminue au profit de
l'énergie potentielle
· à l'apogée, l'énergie cinétique est minimale et l'énergie potentielle est
maximale
· de l'apogée au périgée, l'énergie potentielle diminue au profit de
l'énergie cinétique
· au périgée, l'énergie potentielle est minimale et l'énergie cinétique est
maximale
On peut par ailleurs montrer
que, quelle que soit la forme de la conique sur laquelle le satellite
évolue, cette énergie mécanique spécifique peut se déterminer par la
relation suivante :
Em = -µ / (2× a)
Cette relation physique est fondamentale, puisqu'elle établit que la seule
connaissance de la demi- longueur du grand-axe de la trajectoire entraîne la
connaissance de l'énergie mécanique spécifique du satellite sur cette
trajectoire.
Dans le cas particulier où la trajectoire est un cercle, cette relation
devient :
Em = -µ / (2× R)
où R désigne le rayon du cercle.
Une autre relation très importante peut être dérivée de Em=1/2 × V2- µ / R.
C'est la relation qui donne la valeur de la vitesse :
V = (2 ×(µ/R+Em))1/2
où
V : vitesse (km/s)R : distance par rapport au centre de la Terre (km)
µ : paramètre gravitationnel (km3/s2)
Em : énergie mécanique spécifique (km2/s2)
On peut maintenant déterminer
la vitesse du satellite en n'importe quel point de la trajectoire.
La période de révolution du satellite (temps nécessaire pour accomplir une
révolution) peut quand à elle être déterminée par la relation suivante :
P = 2 × pi × (a3/µ)1/2
où
P : période (secondes)
pi : 3.141592a : demi-longueur du grand-axe (km)
µ : paramètre gravitationnel (km3/s2)
Il est à remarquer que cette dernière relation valide la troisième loi de
Kepler qui stipule que le carré de la période de révolution est
proportionnel au cube de la demi-longueur du grand'axe.
Lors de la détermination de l'orbite d'un satellite, il y a quatre éléments
fondamentaux que l'on voudrait déterminer :
· la taille de l'orbite
· la forme de l'orbite
· l'orientation (du plan de l'orbite dans l'espace et de l'orbite dans le
plan)
· la position du satellite sur l'orbite
Pour arriver à les connaître, les astronomes ont défini six éléments
fondamentaux de l'orbite,
appelés les COE, Classical Orbital Elements, ou
encore les éléments de Kepler.
Le premier de ces éléments n'est autre que la demi-longueur du grand'axe de
l'ellipse, a.
Sa connaissance nous permet immédiatement de connaître la taille de
l'orbite.
Le deuxième élément est l'excentricité, e. Pour rappel, celle-ci est égale à
2c/2a.
La connaissance de cet élément nous permet de déterminer la forme de
l'orbite
( e=0, cercle ; 0 < e < 1, ellipse ; e=1, parabole ;e > 1, hyperbole).
Pour connaître le troisième
élément, il faut d'abord introduire la notion de moment cinétique spécifique
:
h = R × V
où h est le vecteur moment cinétique spécifique
R est le vecteur position du satellite
V est le vecteur vitesse du satellite
Le symbole × représente ici le produit vectoriel des vecteurs.
Ce troisième élément se définit alors comme étant l'angle orienté du vecteur
K au vecteur h (voir fig.2). Cet angle, noté i, est appelé inclinaison.On
peut alors distinguer plusieurs cas en fonction de la valeur de i :
· i = 0° ou 180° : on a alors à faire avec une orbite équatorielle, puisque
le plan de rotation du satellite est confondu avec celui de l'équateur.
· i = 90° : on a alors à faire avec une orbite polaire, puisque le satellite
va passer au-dessus des pôles Nord et Sud.
· 0° < i < 90° : on parle alors d'orbite prograde ou d'orbite directe.
· 90° < i < 180° : on parle alors d'orbite rétrograde ou d'orbite indirecte
Le quatrième élément peut se
déterminer en faisant l'observation suivante : à l'intersection des plans de
l'orbite du satellite et du plan de l'équateur se trouve une ligne, baptisée
ligne des noeuds . Les deux points où l'orbite franchit le plan de l'équateur
sont les deux noeuds.
· le noeud ascendant est le noeud où le satellite passe de l'hémisphère Sud à
l'hémisphère Nord(voir fig.2)
· le noeud descendant est le noeud où le satellite passe de l'hémisphère Nord à
l'hémisphère Sud
On définira donc le quatrième élément comme étant la longitude du noeud
ascendant.
Cet angle est baptisé omega et est mesuré par rapport à I(voir fig.2)
La connaissance du troisième et du quatrième élément (i et omega) nous permet de
déterminer l'orientation du plan de l'orbite dans l'espace.
Le cinquième élément n'est autre que la position angulaire du périgée, le point
de la trajectoire du satellite le plus proche du centre de la Terre, par rapport
au noeud ascendant et dans la direction du mouvement du satellite. Cet angle est
baptisé argument du périgée et est noté w (voir fig.2).
Cet élément fournit lui l'orientation de l'orbite dans son plan.
Le sixième élément fournit quant à lui la connaissance exacte de la position du
satellite sur l'orbite. C'est l'anomalie vraie, qui définit cet élément. Elle
est notée v et est mesurée dans le sens de déplacement du satellite également.
Il est important de bien comprendre que l'orbite du satellite garde (dans le cas
idéal) une position fixe dans l'espace (et non pas par rapport à la Terre, qui
elle est en rotation).
|
Tableau récapitulatif des COE |
|
Elément |
Nom |
Valeurs |
Description |
|
a |
demi-longueur du grand'axe |
- |
taille |
|
e |
excentricité |
compris entre 0 et 1 |
forme |
|
i |
inclinaison |
compris entre 0° et 180° |
angle entre K et h |
|
omega |
longitude du noeud ascendant |
compris entre 0° et 360° |
angle entre l'équinoxe vernal et le noeud ascendant |
|
w |
argument du périgée |
compris entre 0° et 360° |
angle entre le noeud ascendant et le périgée |
|
v |
anomalie vraie |
compris entre 0° et 360° |
angle du périgée au satellite |
Parfois, il est impossible de
définir ces éléments. C'est le cas notamment des orbites circulaires,
équatorielles voire les deux en même temps. On est alors obligé de recourir à
des éléments alternatifs.
Pour pouvoir
obtenir les équations des orbites, il avait fallu poser plusieurs hypothèses
:aucune autre force que la gravité appliquée au satellite, parfaite symétrie et
densité uniforme de la Terre, masse du satellite très faible par rapport à la
Terre. Malheureusement, les deux premières hypothèses sont rarement vérifiées
dans la réalité spatiale.
La traînée
atmosphérique
Tout d'abord, si l'on pense au fait que la majorité des satellites évoluent à
des altitudes < 800 km, l'effet de traînée atmosphérique (drag) est important
sur les satellites et nous savons que cette force de traînée est dissipative, c-à-d
qu'elle enlève par friction une partie de l'énergie du satellite. Vu la
relation, la demi-longueur du grand'axe diminue.
Au périgée, là où la traînée est la plus forte, comme la vitesse de l'orbite
circulaire est toujours inférieure à la vitesse de l'orbite elliptique au même
point, on tend à se rapprocher de plus en plus de l'orbite circulaire, ce qui
diminue l'excentricité de l'orbite (voir fig.3).
Au fur et à mesure des révolutions autour de la Terre, l'excentricité de
l'orbite ne cesse de décroître et génère finalement la rentrée du satellite dans
l'atmosphère, où l'engin va se consumer et disparaître.Il est très difficile de
modéliser exactement la traînée car elle est fonction de plusieurs facteurs
(altitude, cycles solaires, champ magnétique terrestre...).
La non-sphéricité
de la Terre
Un autre facteur perturbateur dont il faut tenir compte est la non-sphéricité de
la Terre : comme celle-ci n'est pas ronde mais ovale (plus large à l'équateur
qu'aux pôles), l'attraction terrestre n'est pas dirigée exactement vers le
centre de la Terre.
Cela a comme conséquence que la longitude du noeud ascendant n'est pas constante
mais variable (précession de omega). Ce mouvement est dirigé vers l'Ouest pour
les orbites directes, et vers l'Est pour les orbites rétrogrades (il est nul
pour les orbites polaires où i= 0°).
Ce phénomène de précession est également appelé effet J2. On peut montrer
physiquement que cet effet de précession varie en fonction de l'altitude de
l'apogée (il diminue si cette altitude augmente, à inclinaison constante).
On peut montrer que la loi approximative qui gouverne ce phénomène est la
suivante :
domega/dt = - 2,06474 × 1014 × a-7/2 × (cos i) ×
(1-e2)-2
|
Sens de la vitesse de précession de omega |
|
Inclinaison |
Sens |
|
0 < i < 90° |
domega/dt
< 0 |
|
i = 90° |
domega/dt
= 0 |
|
90° < i < 180° |
domega/dt
> 0 |
Ce même phénomène d'ovalité de la
Terre entraîne la variation de l'argument du périgée. Elle diminue également
avec l'altitude de l'apogée et varie avec la valeur de l'inclinaison, suivant la
formule suivante : dw/dt = 1,032 × 1014 × a-7/2 × (4-5 × (sin i)2) × (1-e2)-2
|
Sens de la vitesse de précession de w (argument
du périgée) |
|
Inclinaison |
Sens |
|
0 < i < 63°4 |
dw/dt
> 0 |
|
i = 63°4 |
dw/dt
= 0 |
|
63°4 < i < 116°6 |
dw/dt
< 0 |
|
i = 116°6 |
dw/dt
= 0 |
|
116°6 < i < 180° |
dw/dt
> 0 |
Remarque : ces phénomènes de
perturbation des orbites sont parfois utilisés bénéfiquement.
Exemples :
pour une orbite hélio-synchrone, on prendra par exemple une inclinaison voisine
de 98° afin d'assurer que la vitesse de précession de la longitude du noeud
ascendant soit voisine de 1° par jour. En effet, comme la Terre tourne autour du
Soleil (360°) en un an (365 jours), on s'assure ainsi que le satellite restera
constamment orienté en direction du Soleil.
on peut montrer physiquement que l'inclinaison de 63,4° correspond à une absence
de rotation du périgée. Ce n'est pas un hasard si c'est cette inclinaison qui
est choisie dans le cas des orbites Molniya (dont la description est fournie
plus loin).
Il existe également d'autres sources de perturbation des orbites dont les effets
sont toutefois inférieurs à ceux des deux premières pour les orbites basses.
Pour des orbites plus élevées, leurs effets peuvent être largement prédominants.
Ces effets sont les suivants (Cliquez pour les détails) :
Pression de radiation solaire
Attraction par d'autres corps célestes
Poussée exercée par les moteurs du
satellite
Un problème qui se pose souvent
lors de l'étude du mouvement des satellites est de déterminer à quel moment un
satellite dont on connaît les caractéristiques de l'orbite passera à la
verticale d'un site terrestre déterminé.
Si ce problème est relativement facile à résoudre dans le cas des orbites
circulaires où la vitesse de déplacement est constante, il est en revanche plus
complexe dans le cas des orbites elliptiques où l'anomalie vraie v ne varie pas
de manière uniforme le long de l'orbite.
Kepler, à qui l'on doit décidemment beaucoup en astronautique, a développé une
méthode de résolution de ce problème. Celle-ci est basée sur l'analogie
géométrique existant entre le mouvement sur un cercle et le mouvement sur une
ellipse.
En définissant tout d'abord le mouvement moyen n ou vitesse angulaire moyenne de
la manière suivante :
n = (µ/a3)1/2
et en définissant l'anomalie moyenne comme étant :
M = n × (t - T)
où t - T : temps de vol du satellite entre le point étudié et le périgée
on peut établir (au moyen de développements sortant du cadre de cet exposé) la
relation suivante :
M = E - e × sin E
où E : anomalie d'excentrique(radians)
e : excentricité
Cette équation est appelée équation de Kepler
On peut voir sur la figure la signification physique de l'anomalie d'excentrique
E
On peut également obtenir
aisément la relation suivante qui relie E à v :
cos E = (e + cos v)/(1 + e cos v)
ou encore, inversément
cos v = (cos E - e)/(1 - e cos E)
Deux problèmes fondamentaux peuvent être résolus sur base de cet ensemble de
relations :
Problème 1 -trouver le temps de vol entre deux points
connus d'une orbite connaissant a et e
Ce problème est le plus simple à résoudre. Il suffit de déterminer grâce à la
relation (5) la valeur de E en
chacun des deux points. On peut ensuite calculer la valeur de M en ces deux
points grâce à la relation (7).
On a alors en soustrayant ces deux valeurs la connaissance du temps de vol (tfinal-tinitial).
Problème 2 -trouver la position d'un satellite après un
temps donné connaissant la position initiale
Ce second problème est plus complexe car il ne peut être résolu de manière
analytique.
Il faut en effet faire appel à une méthode numérique d'itération pour obtenir
une solution.
Pourquoi ? Si l'on sait que l'on connaît la valeur de vinitial, on peut alors
facilement connaître la valeur de Einitial grâce à la relation
(5).
L'équation de Kepler est alors utilisée pour obtenir la valeur de Minitial.
En usant alors de la relation (8),
on obtient facilement Mfuture, puisque l'on connaît le temps écoulé. Mais
malheureusement, avec la relation (7),
on constate alors que l'on a :
Efinal= Mfinal + e × sin Efinal
équation transcendentale que l'on ne peut résoudre que par des moyens numériques,
puisque l'inconnue Efinal se trouve dans les deux membres.
Un satellite n'est nullement
utile lorsqu'il est au sol. Il faut donc trouver un moyen de le mettre en orbite,
c-à-d de lui communiquer les caractéristiques physiques nécessaires à
l'évolution sur ces trajectoires, donc à lui fournir essentiellement une
certaine vitesse à une certaine altitude.
Ce rôle est dévoué aux fusées, bien entendu, mais également aux sites de
lancement d'où elles décollent. En effet, on peut se rendre compte très
facilement de l'importance de l'emplacement géographique de ces bases de
lancement, si l'on se rappelle que la Terre est en rotation d'Ouest vers l'Est à
une vitesse approximative de 15°/heure, soit encore 0,000073 rad/s. Cette
vitesse peut sembler faible au premier abord, mais si l'on se souvient que la
vitesse linéaire découlant de la vitesse de rotation d'un corps de rayon R est
exprimée par :
V = R × wTerre
on peut alors écrire que la vitesse linéaire communiquée par la Terre à tout
corps lancé depuis sa surface à l'équateur uniquement est de :
Veq = 6378137 × 0,000073 = 465 m/s
Cette
vitesse est tangente à la surface du globe et dirigée vers l'Est. Il faut bien
remarquer que cette valeur ne serait valable dans le domaine aérospatial que
pour un site se trouvant à l'équateur, là où la latitude vaut 0° !
Malheureusement, aucun site à l'heure actuelle ne présente cette c
Pour calculer la vitesse de lancement fournie par la Terre en n'importe quel
point du globe, il faut tenir compte de sa latitude en se basant sur la figure 5
ci-contre.Ce n'est plus cette fois le rayon de la Terre tel quel qui doit être
utilisé, mais bien la projection de celui-ci sur l'équateur. La valeur de
celle-ci est déterminée par le produit R × cos L.
C'est logique, puisque cos L varie de 1 à l'équateur à 0 aux pôles.
On trouvera dans le tableau ci-dessous la valeur de cette "vitesse de lancement
terrestre" pour quelques sites de lancement connus.
|
Caractéristiques de quelques sites de lancement |
|
Nom du site |
Longitude |
Latitude |
Vitesse de lancement (m/s) |
|
Cap Kennedy (USA) |
80°55 O |
28°5 N |
408,65 |
|
Vandenberg (USA) |
120°6 O |
34°6 N |
382,76 |
|
Kourou (Guyane) |
52°8 O |
5°2 N |
463,08 |
|
Baïkonour (Russie) |
63°4 E |
45°6 N |
325,34 |
|
Shuang-Ch'Eng-Tzu (Chine) |
99°8 E |
40°4 N |
354,1 |
|
Kagoshima (Japon) |
131°1 E |
31°2 N |
397,74 |
|
Sriharikota (Inde) |
80°2 E |
13°7 N |
451,77 |
Un site situé à une latitude
faible offre donc une vitesse initiale de lancement plus élevée qu'un site
situé à une latitude supérieure. Cela peut être un énorme avantage puisque
c'est cette vitesse qui, combinée vectoriellement à la vitesse propre de la
fusée emportant le satellite, va déterminer la vitesse finale de l'engin.
Il est important de bien remarquer que cette vitesse initiale est dirigée
vers l'Est. Elle ne sera donc bénéfique que dans le cas des orbites
progrades, c-à-d pour lesquelles i < 90°. Sinon, cas des orbites rétrogrades
où i > 90°, son effet sera néfaste puisqu'elle obligera l'utilisation d'une
fusée plus
Il faut ensuite se pencher sur le problème de la détermination du moment du
lancement et de la direction propice à ce lancement. En effet, il est
évident que pour placer un satellite sur une orbite déterminée, certaines
contraintes physiques et horaires doivent être respectées.
On peut d'abord penser aux problèmes météorologiques : il est difficile
d'envisager un lancement en plein milieu d'un orage ! Toutefois, on se
concentrera plutôt sur la synchronisation entre la position de l'orbite
désirée et celle de la base de lancement. Nous n'étudierons que le cas du
lancement direct, c'est-à-dire que l'on ne transitera pas par une orbite de
transfert.
Un première chose pouvant sembler évidente est que le lancement d'un
satellite sur une orbite d'inclinaison i à partir d'une base de lancement de
latitude L n'est possible que si l'inégalité suivante est respectée.
L <= i
En effet, il faut qu'à un moment au moins la base de lancement "traverse",
suite à la rotation de la Terre, la trajectoire désirée du satellite qui est
elle, rappelons-le encore, fixe. Ce ne serait pas le cas si i < L.
On peut envisager maintenant de définir la notion de fenêtre de lancement,
c-à-d la période pendant laquelle le lancement du satellite est possible.
Pour cela, il faut d'abord introduire
La notion de temps sidéral.
Une première classification
des satellites peut être établie en fonction de l'altitude à laquelle
ceux-ci vont évoluer. C'est en effet cette altitude qui va conditionner les
forces, y compris gravifiques, qui vont agir sur l'engin
|
Classification des orbites des satellites |
|
Type d'orbite |
Altitude (distance par rapport au centre de la Terre) |
|
LEO (Low-Earth Orbits) |
< 800 km (a < 7178 km) |
|
MEO (Mid-Earth Orbits) |
entre 800 et 30000 km (a entre 7178 et 36378 km) |
|
GEO (Geosynchronous Orbits) |
35780 km (a=42158 km) |
|
Deep Space Orbits |
au-delà de 35780 km |
Les satellites de la première catégorie (LEO) sont
surtout affectés par la traînée atmosphérique et les deux catégories
suivantes par la pression de radiation solaire et des forces issues d'autres
corps célestes.
Une autre classification
peut-être faite en fonction du type d'orbite utilisée par le satellite :
- Les satellites géosynchrones sont des satellites dont la période de
rotation autour de la Terre est de 24h, c-à-d que leur vitesse angulaire de
rotation est égale à celle de la Terre (soit 15°/hr).Ils ne doivent
cependant pas être confondus avec les satellites géostationnaires, qui sont
des satellites géosynchrones dont le plan de l'orbite est confondu avec
celui de l'équateur (inclinaison i = 0°).Ils sont le plus souvent utilisés
dans une fonction de relais de communications (téléphone et télévision),
mais également pour des tâches militaires d'"observation" de zones
spécifiques, puisqu'ils ont la particularité de rester fixement au-dessus
d'un point déterminé du globe.
- Les satellites à orbites semi-synchrones ont une période de rotation de
12h et sont surtout utilisés pour des missions d'aide à la navigation (GPS).
Leur inclinaison est de 55°.
- Les satellites à orbite hélio-synchrone ont des orbites dont la ligne des
noeuds reste fixe par rapport au Soleil , d'où leur nom. Leur période de
rotation avoisine les 90 min et leur inclinaison 95°. L'utilité de telles
orbites se justifie pour des satellites ayant besoin d'un éclairage
particulier ou constant sur les panneaux solaires.
- Les orbites gelées (frozen orbits) sont des orbites où l'on essaie de
garder constant l'un des COE en dépit de forces perturbatrices.
- Les satellites à orbites Molniya furent lancés dans l'espace afin de
satifaire les besoins en communications de l'ex-Union Soviétique. La période
de telles orbites est de 12h et l'excentricité avoisine 0,7. L'inclinaison
est critique (63,4°), ce qui rend l'argument du périgée quasi-constant
(270°) et maintient l'apogée au-dessus des régions les plus septentrionales
de la Russie, c-à-d la Sibérie (Ra = 45170 km et Rp = 7971 km).
-Les orbites super-synchrones sont des orbites circulaires avec des périodes
supérieures à 24h.
Certaines orbites ont pour particularité de minimiser l'altitude en fixant
l'excentricité et l'argument du périgée (utiles pour des instruments
embarqués avec des portées limitées).
1) Vrai ou faux
Troisième loi de Kepler: Les
carrés des périodes de révolution des planètes sont proportionnels aux
grands axes de leurs orbites.
2)
Choisissez la bonne réponse
La période de révolution du
satellite (temps nécessaire pour accomplir une révolution) peut quand à elle
être déterminée par la relation suivante :P = 2 × pi × (a3/µ)1/2 où P :
période (secondes)pi : 3.141592a : demi-longueur du grand-axe (km)µ :
paramètre gravitationnel (km3/s2)Il est à remarquer que cette dernière
relation valide la
3)
Choisissez les bonnes réponses
Lors de la détermination de
l'orbite d'un satellite, il y a quatre éléments fondamentaux que l'on
voudrait déterminer :
